จุดศูนย์กลางมวล และจุดศูนย์กลางของความโน้มถ่วง กฎความโน้มถ่วงของนิวตัน
F แทนความโน้มถ่วงระหว่างมวลทั้งสอง นั่นคือ ความโน้มถ่วงแปรผันตรงกับมวล (มวลมากก็มีความโน้มถ่วงมาก) และแปรผกผันกับระยะห่างกำลังสอง (ระยะห่างมากก็มีความโน้มถ่วงน้อย) จากกฎความโน้มถ่วงของนิวตัน แรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำกับมวลใดๆ จะขึ้นอยู่กับระยะทางระหว่างศูนย์กลางมวลของโลก กับศูนย์กลางมวลวัตถุยกกำลังสอง ดังนั้นแรงโน้มถ่วงของโลกบริเวณต่างๆ จึงมีค่าไม่เท่ากัน และเนื่องจากโลกมีการหมุนรอบตัวเอง มีผลทำให้เกิดแรงหนีศูนย์กลาง แรงหนีศูนย์กลางนี้จะหักล้างกับแรงโน้มถ่วงของโลก แรงหนีศูนย์กลางจะมีค่ามากที่สุดบริเวณเส้นศูนย์สูตร และมีค่าน้อยที่สุดบริเวณขั้วโลก ผลของแรงหนีศูนย์กลางนี้ทำให้แรงโน้มถ่วงของโลกบริเวณเส้นศูนย์สูตร มีค่าน้อยกว่าแรงโน้มถ่วงของโลกบริเวณขั้วโลกเหนือ นอกจากนั้นโลกก็มิได้เป็นทรงกลมโดยสมบูรณ์ แต่แป้นตรงกลางเล็กน้อยคล้ายผลส้ม ทำให้ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของโลกถึงพื้นผิวโลกแปรผันไปตามละติจูด สำหรับการคำนวณทางวิศวกรรมโดยทั่วไป ความเปลี่ยนแปลงของค่าแรงโน้มถ่วงไม่ถือเป็นนัยสำคัญ จึงสามารถใช้ค่าเฉลี่ยของแรงโน้มถ่วงของโลกได้ โดยกำหนดให้ความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก (g) มีค่าเท่ากับประมาณ 9.81(~10) เมตรต่อวินาทีกำลังสอง จุดศูนย์กลางมวลและจุดศูนย์กลางของความโน้มถ่วง จุดศูนย์กลางมวล เป็นคำอีกคำหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ เพราะว่าการเคลื่อนที่เป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน จึงคิดเสมือนว่าวัตถุเป็นจุด (point) และมวลของวัตถุรวมอยู่ที่จุดนี้ ในความเป็นจริงวัตถุมีขนาดไม่ได้เป็นจุด การออกแรงกระทำต่อวัตถุ เพื่อให้วัตถุมีการเลื่อนตำแหน่งโดยไม่หมุน แรงต้องกระทำผ่านจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเปรียบเสมือนจุดรวมของมวลวัตถุทั้งก้อน สำหรับวัตถุแข็งแกร่ง ตำแหน่งของจุดนี้จะอยู่ประจำที่ ถ้าวัตถุที่เป็นจุดมวลสองจุดมีมวลเท่ากัน อยู่แยกกัน จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างมวลทั้งสอง ถ้ามวลไม่เท่ากัน จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ใกล้ค่ามวลที่มากกว่า สำหรับมวล m1 และ m2 อยู่บนแกน x อาจหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลได้จากสมการต่อไปนี้ เมื่อ M เป็นมวลทั้งหมด
สำหรับความหมายของจุดศูนย์กลางของความโน้มถ่วง หรือที่เรียกสั้นๆ ว่า จุดศูนย์ถ่วง นั้น จะเป็นจุดที่แรงลัพธ์ของแรงดึงดูดของโลกต่อส่วนต่างๆ ของวัตถุกระทำ ซึ่งในสถานการณ์ธรรมดาที่สนามโน้มถ่วงมีค่าสม่ำเสมอทั่วปริมาตรของวัตถุ จุดศูนย์กลางมวลกับศูนย์ถ่วงจะเป็นจุดเดียวกัน ในกรณีที่วัตถุมีขนาดใหญ่จนแต่ละส่วนของวัตถุนั้นอยู่ในสนามความโน้มถ่วง ที่มีค่าต่างกัน เป็นไปได้ที่จุดศูนย์ถ่วงและจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่คนละตำแหน่งกัน สมมติว่ามีมวล m1 และ m2 ยึดกันไว้ด้วยแท่งวัตถุที่เบามาก ดังภาพ 12 อยู่ในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ มีค่า g วิธีหนึ่งที่เราอาจจะหาตำแหน่งที่แรงลัพธ์ของแรงขนานซึ่งเป็นน้ำหนักของวัตถุทั้งสอง คือ หาว่าตำแหน่งใดที่มีแรงๆ เดียว (R) กระทำแล้ว จะทำให้วัตถุทั้งระบบอยู่ในสมดุลได้ ซึ่งจะเรียนในบทเกี่ยวกับสมดุลต่อไปว่า ต้องมีทั้งแรงลัพธ์เป็นศูนย์และโมเมนต์ของแรงรอบจุดใดๆ เป็นศูนย์จากภาพ (12) จะเห็นว่า โดยขนาดของโมเมนต์รอบจุดศูนย์ถ่วง (c.g.) m1g.X1 = m2 g.X2 ซึ่งจะพบว่าเป็นเงื่อนไขเดียวกับที่จุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางมวล คือ m1X1 = m2X2 เมื่อ X1 และ X2 เป็นระยะจาก c.m. ในกรณีที่ระบบมวลทั้งสองนั้นอยู่ในสนามที่สม่ำเสมอ เช่น m1 อยู่ในสนาม g1 และ m2 อยู่ในสนามที่มีค่า g2 ค่า g1 มากกว่า g2 และจุด c.g. จะอยู่ ณ จุดที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง m1g.X1 = m2 g.X2 ดังนั้น c.g. จะเลื่อนมาทางมวล m1 ในขณะที่ c.m. ของระบบมวลอยู่ที่เดิม c.g. จึงอยู่คนละตำแหน่งกับ c.m. กรณีเช่นนี้อาจเกิดขึ้น เช่น ดาวเทียมห้อยวัตถุมีมวลด้วยสายที่ยาวมากทำให้วัตถุนั้นอยู่ในตำแหน่งที่มีค่าสนามโน้มถ่วงสูงกกว่า และเป็นผลให้ระบบมี c.g. อยู่ต่ำว่า c.m.
ขอบคุณที่มาของเนื้อหาเพิ่มเติม
|
และสมการ (16) สามารถแยกคิดเป็นองค์ประกอบได้